ايهما تختار ولماذا ؟

-1-

-2-

 

اذا عرض عليك وظيفتين وتريد المفاضلة بينهما ، الوظيفة الاولى بمرتب مليون دولار شهريا لمدة ٢٠ سنة ، والاخرى بمرتب ١ دولار في اليوم الاول ويضاعف الاجر كل يوم عن اليوم السابق لمدة شهر فقط ، ايهما تختار ولماذا ؟

1 دولار فى اليوم الاول و يضاعف لمدة شهر

S= 1(1+2)^30 = 3^30 = 2.06 x 10^14

الحل الاخر:

مليون دولار شهريا لمدة عشرين سنة

S= 1 x 20 x12 = 240 million = 24 x 10^7 < 2.06 x 10^14

اذاً اختار للحصول على 1 دولار فى اليوم الاول و يضاعف لمدة ٣٠ يوم

------------------

متوالية هندسية الدولار في اليوم هو الخيار الافضل

آخر يوم في الشهر يصبح الراتب مليار.

اما الوظيفه الأولى مدة عشرين سنه يصبح مجموع الرواتب 240 مليون

-------------------

إجمالي الخيار الأول ,240,000,000 مليون دولار

إجمالي الخيار الثاني 1,073,741,823 أكثر من مليار دولار

----------------

متوالية هندسية

المتتابعة الهندسية هي متتالية حيث يكون الفرق بين أي عددين متتاليين فيها ثابتًا.

تتكون المتتالية الهندسية من ثلاثة عناصر أساسية:

المصطلح الأول: هو أول عدد في المتتالية.

النسبة المشتركة: هي الثابت الذي يتم ضربه في كل عدد لإنشاء العدد التالي.

المصطلح العام: هو صيغة يمكن استخدامها لحساب أي عدد في المتتالية.

الصيغة العامة للمصطلح العام في المتتالية الهندسية هي:

a_n = a_1 * r^(n-1)

حيث:

a_n: هو المصطلح المطلوب.

a_1: هو المصطلح الأول.

r: هو النسبة المشتركة.

n: هو رقم المصطلح المطلوب.

على سبيل المثال، إذا كانت المتتالية الهندسية هي (2, 4, 8, 16, ...)، فإن المصطلح الأول هو 2، والنسبة المشتركة هي 2، والمصطلح العام هو:

a_n = 2 * 2^(n-1)

لحساب المصطلح الخامس في المتتالية، نقوم ببساطة بوضع n=5 في الصيغة:

a_5 = 2 * 2^(5-1)

a_5 = 2 * 2^4

a_5 = 2 * 16

a_5 = 32

إذن، المصطلح الخامس في المتتالية هو 32.

يمكن استخدام المتتاليات الهندسية في مجموعة متنوعة من التطبيقات، مثل:

حساب فوائد القروض أو الديون.

حساب معدل النمو السكاني أو الاقتصادي.

حساب انحدار خطي.

---------------------------

مجموع متوالية هندسية

------------

في الرياضيات، المتتالية الهندسية هي متتالية عددية كل حد (جملة) من حدودها بعد الأول يُحصل عليه بضرب الحد الذي قبله في عدد ثابت غير منعدم يدعى النسبة (ويعرف أيضًا باسم الأساس أو العامل المشترك).

على سبيل المثال، المتتالية التالية هي متتالية هندسية:

1, 2, 4, 8, 16, ...

حيث الحد الأول هو 1، والنسبة هي 2.

يمكن حساب مجموع المتتالية الهندسية باستخدام الصيغة التالية:

S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}

حيث:

S 

n

​

  هو مجموع المتتالية الهندسية

a 

1

​

  هو الحد الأول

r هو النسبة

n هو عدد الحدود

على سبيل المثال، مجموع المتتالية الهندسية التالية هو:

S_5 = \frac{1(1-2^5)}{1-2} = \frac{-31}{-1} = 31

حيث:

S 

5

​

  هو مجموع المتتالية الهندسية

a 

1

​

  هو الحد الأول

r هو النسبة

n هو عدد الحدود

حالات خاصة

إذا كانت النسبة تساوي 1، فإن مجموع المتتالية الهندسية يساوي مجموع الحدود:

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n

إذا كانت النسبة تساوي -1، فإن مجموع المتتالية الهندسية يساوي 0:

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + (-a_1) + ... + (-a_1) = 0

إذا كانت النسبة تساوي 0، فإن مجموع المتتالية الهندسية يساوي الحد الأول:

S_n = \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + 0 + ... + 0 = a_1

تطبيقات

توجد العديد من التطبيقات للمتتالية الهندسية في الحياة اليومية، مثل:

الفائدة المركبة: تُستخدم المتتالية الهندسية لحساب الفائدة المركبة على القروض والاستثمارات.

الانحدار اللوغاريتمي: تُستخدم المتتالية الهندسية لحساب الانحدار اللوغاريتمي في الإحصاء.

الانتشار والانحلال: تُستخدم المتتالية الهندسية لحساب انتشار الأمراض أو انحلال المواد.

-3-

-4-