1
-----------------------
لحل المسألة \(\sqrt{49 + 20\sqrt{6}}\)، نتبع الخطوات التالية:
### الخطوة 1: افترض أن التعبير يمكن كتابته على شكل \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)
\[
\sqrt{49 + 20\sqrt{6}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]
### الخطوة 2: ربّع كلا الطرفين لإزالة الجذر
\[
49 + 20\sqrt{6} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}
\]
### الخطوة 3: قارن الأجزاء النسبية وغير النسبية
\[
a + b = 49 \quad \text{(1)}
\]
\[
2\sqrt{ab} = 20\sqrt{6} \implies \sqrt{ab} = 10\sqrt{6} \implies ab = 600 \quad \text{(2)}
\]
### الخطوة 4: حل نظام المعادلات (1) و (2)
نبحث عن عددين \(a\) و \(b\) مجموعهما 49 وحاصل ضربهما 600.
نلاحظ أن:
\[
25 + 24 = 49 \quad \text{و} \quad 25 \times 24 = 600
\]
### الخطوة 5: استبدل القيم
\[
\sqrt{49 + 20\sqrt{6}} = \sqrt{25} + \sqrt{24} = 5 + 2\sqrt{6}
\]
### الإجابة النهائية
\[
\boxed{5+2\sqrt{6}}
\]
------------------------
2
-------------------
الحل لهذا السؤال يعتمد على محاولة تبسيط الجذر التربيعي:
\\[
\sqrt{49 + 20\sqrt{6}}
\\]
نبحث عن تعبير على شكل:
\\[
\sqrt{a} + \sqrt{b}
\\]
بحيث:
\\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 49 + 20\sqrt{6}
\\]
نقارن:
- \( a + b = 49 \)
- \( 2\sqrt{ab} = 20\sqrt{6} \) ← إذن \( \sqrt{ab} = 10\sqrt{6} \) → \( ab = 600 \)
نحتاج قيمتين \( a \) و \( b \) تحققان:
- \( a + b = 49 \)
- \( ab = 600 \)
نحلها كمسألة رياضية:
\\[
x + y = 49 \quad \text{و} \quad xy = 600
\\]
نستخدم المعادلة التربيعية:
\\[
t^2 - 49t + 600 = 0
\\]
نجد الجذرين:
\\[
t = \frac{49 \pm \sqrt{49^2 - 4 \cdot 600}}{2}
= \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 2400}}{2}
= \frac{49 \pm \sqrt{1}}{2}
\\]
الناتج: \( t = 24 \) أو \( 25 \)
إذًا: \( a = 24, b = 25 \)
وبالتالي:
\\[
\sqrt{49 + 20\sqrt{6}} = \sqrt{24} + \sqrt{25} = 2\sqrt{6} + 5
\\]
💡 **الإجابة الصحيحة هي: الخيار A — \( 5 + 2\sqrt{6} \)**